Решение большинства неравенств сводится к решению соответствующих уравнений. Рассмотрим решение линейных и квадратных неравенств, а также специальный метод решения неравенств - метод интервалов.

      Всякое значение неизвестного, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства.

       Решить неравенство - значит найти все его решения  или доказать, что их нет.

       Неравенства вида , где х - неизвестное,  а и b - некоторые действительные числа  называются неравенствами первой степени или линейными неравенствами.

     Неравенства вида , где  называются неравенствами второй степени с одной неизвестной или квадратными неравенствами.

---

Примерные задания

Линейные неравенства

Задание 1

Укажите наименьшее целое решение неравенства -х+0,5(х+4)<4.

Решение: Сначала раскроем скобки. -х+0,5х+2<4. При решении линейных неравенств обычно переносят неизвестные слагаемые в левую часть неравенства, а известные – в правую, и приводят подобные слагаемые. -0,5х<2. Обе части неравенства делим на отрицательное число. Не забываем, что знак неравенства меняется на противоположный. х>-4.

Наименьшим целым решением является число (-3), а не (-4).

Ответ: -3.

Задание 2

Найдите число целых решений неравенства

Решение: Исходное неравенство называется двойным неравенством. Его можно решать разными способами.

1-й способ.

2-й способ (с помощью системы).

Исходное неравенство равносильно системе неравенств

 

Решим первое неравенство.

.

Решим второе неравенство.

x<8.

Отметим решения и первого и второго неравенства на координатной прямой.

Решением системы неравенств будет промежуток .

Количество целых чисел, входящих в промежуток, равно 16.

Ответ: 16.

Квадратные неравенства

Решение квадратных неравенств  

состоит из 5 этапов:

1.Вводим соответствующую функцию .  

2.Определяем направление ветвей параболы.

3.Находим нули функции, т. е. решаем уравнение .

4.Если уравнение имеет корни, то отмечаем корни на координатной  прямой и схематически рисуем параболу в соответствии с направлением ветвей.

5.Находим решение неравенства с учетом смысла знака неравенства.

Задание 3

Решите неравенство .

Решение:

1. Пусть .

2. Так как а=-1, то ветви параболы направлены вниз.

3. Решим уравнение .

Его корни: х=1; х= -3.

4. Отметим числа 1 и (-3) на координатной  прямой и построим эскиз  графика функции.

5. Так как знак неравенства , то решением его будет отрезок .

Ответ:  

Задание 4

Решить неравенство .

Решение:

1. Имеем . 

2. Ветви параболы направлены вниз.

3. Уравнение решений не имеет (Д<0). Парабола не пересекает ось абсцисс.

4.

Так как знак неравенства (<), то решением его являются все числа.

Ответ: .

---

Область определения выражения

     Значения переменной, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменной.

     Множество всех допустимых значений переменной называют областью определения выражения.

Задание 4

При каких значениях х имеет смысл выражение .

Решение: Так как выражение  имеет смысл при  и выражение имеет смысл при , то составим и решим систему

Отметим решение на координатной прямой.

Областью определения исходного выражения будет объединение промежутков

Ответ:

Метод интервалов

Задание 5

Решим неравенство  

Решение: Так как числитель дробного выражения отрицателен, то решение исходного неравенства сводится к решению неравенства  . Решим неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию y=(-x+5)(x²-4). Найдем нули функции, т.е. решим уравнение (-x+5)(x²-4)=0.  Числа 5; -2; 2 являются нулями функции. Отметим нули функции на координатной прямой.

 

В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается  нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль функции, т.е. через точки -2; 2; 5, ее знак меняется.

Определим знак функции в каком-нибудь из четырех промежутков. Например, рассмотрим f(0)=(-0+5)(0²-4)=5(-4)=-20<0, значит в промежутке (-2; 2) значения функции отрицательны.

Далее происходит чередование знаков.

 

Итак, мы решаем методом интервалов неравенство . Решением неравенства будет объединение промежутков .

Ответ:

Задание 6

Решить неравенство

Решение: Рассмотрим  функцию y=x⁴-9x². Ее нули 0; -3; 3. Отметим эти числа на координатной прямой и определим знак функции, например, на промежутке (0; 3).

Найдем значение функции в точке 1,  

f(1)=1-9<0.

так как , то число 0 является, говорят, нулем двойной кратности. При переходе через него знак функции не меняется.

У исходной функции только 0 является нулем двойной кратности, поэтому и при переходе через точку 3 и при переходе через точку

(-3) знак функции  меняется.

Решением исходного неравенства является не только объединение промежутков , но и точка 0.

Ответ:

Скачать задания контрольной работы № 3

 

Желаю успехов!

Нина Васильевна

Примечание: При выполнении заданий контрольной работы вы можете воспользоваться учебниками:

1. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. С.А. Телековского.

2. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др.

3. Алгебра 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович.

Посмотреть ответы...