Тема 2

Уравнения и системы уравнений

Решить уравнение с одним неизвестным - значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Линейным уравнением с одним неизвестным х,  называют уравнения вида ах=b, где х - неизвестное, а и b  - некоторые числа. 

Квадратным уравнением с одним неизвестным х  называют уравнение вида ах²+bx+c=0, где х - неизвестное, а и b, c - некоторые числа, причем .

Формула корней квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения, ах²+bx+c=0 находят по формуле  .

Теорема Виета

Если приведенное квадратное уравнение х²+px+c=0 имеет корни, то сумма корней этого  уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х₁+x₂=-p,  х₁^.x₂=q.

Решением системы уравнений с двумя неизвестными называется пара значений неизвестных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Примерные задания

Задание №1. Решите уравнение

Решение: Умножим обе части уравнения на 6

2(2х-1)-3(х+1)=12

4х-2-3х-3=12

х=17

Ответ: 17.

Задание №2. Решите уравнение -x²+0,1=0,9x. В ответе укажите произведение его корней.

Решение: перенесем слагаемые в левую часть уравнения

-x²+0,1-0,9x=0

x²+0,9x-0,1=0

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10.

10x²+9x-1=0

D=9²-4*10*(-1)=121

x₁=-1   x₂=0,1

Не забудем, что в задании есть дополнительный вопрос. Произведение  корней уравнения равно -0,1.

Ответ: -1; 0,1; -0,1.

Задание №3. Не решая уравнения 2x²+2x-3=0, найдите:

а)       б)       в)       г)  , где

x_1, x₂ - корни уравнения.

Решение:

Известно, что x_1, x₂ - корни квадратного уравнения. Применим теорему Виета.

Сначала необходимо сделать исходное уравнение приведенным, т.е. разделить на первый (старший) коэффициент 2.

Имеем: x²+x-1,5=0

По теореме Виета:

Поэтому в пункте а) ; а в пункте б) .

Чтобы вычислить значения выражений в пунктах в) и г), выразим слагаемые в них через   и .

в) .

г).

Ответ: а)-1; б)-1,5; в) ; г) 4.

Задание №4.  Решите уравнение  

Решение: Корнями  уравнения x²-6x+8=0 является x₁=2, x₂=4, поэтому О.Д.З.: .

8-(1-3х) (х-4)-4(х-2)=0

8-х+4+3х²-12х-4х+8=0

3х²-17х+20=0

 Ответ: .

Задание №5. Найдите наименьший корень уравнения

(х+3)⁴+3х²+18-1=0.

Решение:

Рассмотрим первое слагаемое (х+3)⁴. Вспомним, что

(х+3)²=х²+6х+9. 

Сгруппируем второе и третье слагаемые. Если вынести 3 за скобки, то имеем  3(х+6х). Введем новую переменную  а=(х+3)²,  , тогда

3х²+18х=3х²+18х+27-27=3(х²+6х+9)-27=3а-27. 

Исходное уравнение будет иметь вид а²+3а-27-1=0.

Решим получившееся квадратное уравнение а²+3а-28=0. 

а=-7 или а=4

а=-7 - посторонний корень (почему?).

Вернемся к замене: (х+3)²=4.

Как проще решить это уравнение?

1-й способ. Раскрыть квадрат суммы и применить основную формулу корней квадратного уравнения.

2-й способ. Перенести 4 в левую часть и применить формулу разности квадратов.

3-й способ. Извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения.

х+3=2 или х+3=-2.

х=-1 или х=-5.

Вспомните, какое было задание.

Ответ: -5.

Задание №6. Сколько корней имеет уравнение х³-3х²-32х+96=0?

Решение: В левой части уравнения 4 слагаемых, поэтому применяем метод группировки.

(х³-3х²)-(32х-96)=0

х²(х-3)-32(х-3)=0

(х-3)(х²-32)=0

Произведение равно нулю, значит, х-3=0 или х²-32=0.

Уравнение имеет три корня: .

Ответ: 3 корня.

Задание №7. При каких значениях параметра m оба корня уравнения х²-mx+2=0 лежат в промежутке (0;3)

Рассмотрим функцию . Графиком данной функции

является парабола. Изобразим параболу с указанными свойствами.