Тема 3

Стереометрические задачи

Задание B 9

Тип задания. Задание на вычисление площадей поверхностей или объемов многогранников и тел вращения.
Характеристика задания. Несложное задание по стереометрии на применение основных формул, связанных с вычислением площадей поверхностей или объемов многогранников (пирамид, призм) или тел вращения (цилиндров, конусов, шаров), в том числе вписанных или описанных около других многогранников или тел вращения.
Для решения задачи достаточно знать формулы площадей поверхностей и объемов призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара.
Теоретический материал

Пример с решением. В цилиндрический сосуд налили 1литр воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25см до отметки 35см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см³ (1литр равен 1000см³).
Решение. Пусть S – площадь основания сосуда, тогда S 25 = 1000,
S = 1000:25 = 40. Объем детали равен объему вытесненной воды, т.е. объему цилиндра с тем же основанием S и высотой Н = 35 – 25 = 10. Значит, объем детали равен  40 10 = 400 (см³).

Задание С 2
Тип задания. Стереометрическая задача.
Характеристика задания. Задание на вычисление отрезков, площадей, углов, связанных с многогранниками и телами вращения.
Как правило, в задаче нужно найти длину отрезка, площадь, угол (между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями), связанных с призмой, пирамидой, цилиндром, конусом или шаром. Дополнительные построения минимальны (например, построение линейного угла двугранного угла).
Пример с решением. 
1. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBC.

Решение. Пусть О – центр основания пирамиды. Прямая АО параллельна прямой ВС и, значит, параллельна плоскости SBC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки О до плоскости SBC. Пусть G – середина отрезка ВС. Тогда прямая ОG перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром, опущенным из точки О на плоскость SBC, является высота ОН прямоугольного треугольника SOG. В этом треугольнике

2. В единичном кубе А…D₁ найдите угол между прямыми DА₁ и ВD₁.

Решение. АD₁  является проекцией прямой ВD₁ на плоскость АDD₁. Прямые АD₁ и DА₁ перпендикулярны. Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что прямые DА₁ и ВD₁ также перпендикулярны, т.е. искомый угол равен 90⁰. 

Желаю успехов!

Лидия Петровна

Посмотреть ответы