Почти 100 баллов на ЕГЭ

(заочная школа для 9 классов и 10 -11 классов)

Тема 4

Функции и графики

 

В первой части экзаменационной работы чаще всего  предоставлены задания проверяющие:

а) умения «считывать» свойства функции по ее графику;

б) умение анализировать графики, которые описывают зависимость между величинами, например, между расстоянием и временем, между объемом выполненной работы и временем и т.д., умение установить соответствие между графиком функции  ее аналитическим заданием.

Во второй части работы практически во всех заданиях по этой теме требуется сначала построить график функции, а затем  его использовать и ответить на дополнительные вопросы.

Чаще всего в заданиях встречаются квадратичные, линейные или кусочно-заданные функции.

Теоретическая часть

D(y) (область определения функции у) множество на котором задается функция. При графическом способе задания функции ее область определения может считываться по графику. Если функция задана аналитически (по формуле) и ее область определения не указана, то это означает, что функция задается  на естественной области определения.

Е(у) (область значений функции у), которые  она принимает при всех значениях аргумента из ее области определения. Проще находить область значений функции, если задан график. В этом случае надо спроецировать все точки графика функции на ось 0у.

Получившееся множество точек  будет областью значений функции.

Нули функции. Для функции f(x), заданной графически,- это абсциссы точек, в которых график функции пересекает ось абсцисс или касается ее. Чтобы найти нули функции, заданной аналитически, надо решить уравнение f(x)=0.

Функция называется возрастающей на множестве Х, если большему значению аргумента из этого множества Х, соответствует  большее значение функции.

Функция называется убывающей на множестве Х, если большему значению аргумента из этого множества Х, соответствует  меньшее значение функции.

Функция  у f(x) называется  четной, если выполняется два условия:

1) 

2)

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция  у f(x) называется нечетной, если выполняется два условия:

1)  

2)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

 

Свойства линейной функции

1) .

2) , если .

E(y)={b}, если k=0.

3) монотонность:

если k>0, то функция возрастает на всей области определения;

если k<0,то функция убывает на всей области определения.

   

Свойства обратной пропорциональности

1) .

2) .

3) монотонность:

если k>0, то функция убывает на всей области определения;

если k<0,то функция возрастает на всей области определения.

4) функция является нечетной.

   

Свойства дробно-рациональной функции ,

где P(x) и Q(x) - многочлены от х.

1) Область определения D(y) - любые действительные х, не обращающие знаменатель Q(x) в нуль.

2) Множество значений Е(у) зависит от конкретной функции.

Свойства квадратичной функции у=ax2+bx+c

- коэффициенты, .

1) .

2) График квадратного трехчлена - парабола с вершиной в точке с абсциссой , направленная ветвями вверх, если а>0; направленная ветвями вниз, если a<0.

3) Множество значений зависит от координат вершины параболы и направления ветвей.

   

Свойства функции

1) .

2) .

3) Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Примеры решения заданий контрольной работы

Задание 1

График описывает движение парусной яхты, которая первую часть пути прошла под парусом. Спустив парус, она продолжала движение.

1) Найдите скорость яхты "под парусом" и "без паруса" (выразив ее в км/ч).

2) На каком расстоянии от начала движения находилась яхта через 50 минут, через 2 часа?

3) Сколько времени потребуется яхте на обратный путь, если она будет двигаться с той же скоростью, что и на первом участке "под парусом"?

Решение 1: Под парусом яхта прошла 30 км за 60 минут, т.е. за 1 час, значит, ее скорость была . Без паруса яхта прошла 5 км за 60 минут, значит ее скорость была 5 км/ч.

Ответ: 30 км/ч; 5 км/ч.

Решение 2: На графике найдем точку с абсциссой, равной 50. Найдем ординату этой точки. Она равна 25. Получили, что за 50 минут яхта пройдет 25 км. Аналогично, за 120 минут - 35 км.

Ответ: 25 км, 35 км.

Решение 3: Обратный путь составляет 35 км. Скорость яхты 30 км/ч. Найдем время обратного пути: , что составляет 1 час 10 минут.

Ответ: 1 час 10 минут.

Задание 2

Используя график функции y=f(x), определите, какое утверждение верно.

А) Нулями функции являются числа -7; -2; 4.

Б) Функция убывает на промежутке .

В) f(x)<0 при -7<x<0.

Г) f(0)=6.

Решение: Нулями функции являются числа -7; 4. , поэтому х=-2 не является нулями функции. f(0)=5. Функция принимает положительные значения, т.е. график функции расположен выше оси абсцисс, при -7<x<4. Функция возрастает на промежутке . Функция убывает на промежутке .

Ответ: Б.

Задание 3

Постойте график функции .

А) При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения?

Б) Какова область ее значений?

В) Какие значения принимает функция, если ?

Г) Найдите координаты точки пересечения графика функции с осями.

Решение: Построим график функции и с помощью его ответим на вопросы.

Графиком линейной функции является прямая. Найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой (-3; 0) и

(3; 4).

Ответим на вопросы:

А) функция принимает положительные значения там, где график расположен выше оси 0х, т.е. на промежутке .

Ответ: .

Б) функция модет принимать любые значения, поэтому область ее значений .

Ответ: .

В) y(-3)=0, y(1,5)=3. Если , то .

Ответ: [0; 3].

Г) точка пересечения с осью абсцисс уже найдена: (-3; 0). Точку пересечения с осью ординат найдем по графику: (0; 2).

Ответ: (-3; 0); (0; 2).

Задание 4

Постойте график функции y=x2-6x+5.

А) При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения?

Б) Укажите наименьшее значение функции.

В) Какова область ее значений?

Г) Найдите координаты точки пересечения графика функции с осью 0х.

Д) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Е) Какие значения принимает функция, если ?

Решение: Построим график функции y=x2-6x+5. Графиком квадратичной функции является парабола. Для ее построения найдем координаты вершины параболы и точки пересечения с осями координат , y(3)=-4. Ветви параболы направлены вверх, координаты вершины (3; -4). Найдем точки пересечения с осями координат:

х

0

1

5

у

5

0

0

А) выше оси абсцисс (y>0) находится точка графика с абсциссами больше 5 или меньше 1.

Ответ: ;

Б) наименьшее значение функции у=-4 функция принимает в своей вершине.

Ответ: -4 - наименьшее значение функции;

В) функция может принимать все значения, больше, чем значения в своей вершине.

Ответ: .

Г) точек пересечения с осью 0х две. Их координаты (1; 0) и (5; 0).

Ответ: (1; 0) и (5; 0).

Д) Правее абсциссы вершины функция возрастает, а левее - убывает.

Ответ: промежуток возрастания функции , промежуток убывания функции .

Е) изобразим график функции y=x2-6x+5, если . Для того чтобы найти значение функции, можно найти ординаты всех точек получившегося графика. Спроектируем точки графика на ось ординат, получим отрезок

[-4;5].

Ответ: [-4;5].

Замечание: Обратите внимание на то, что нахождение области значений недостаточно было найти значения функции на концах промежутка [0; 4]: y(0)=5, у(4)=-3. Функция убывает на промежутке [0; 3] и возрастает на промежутке [3; 4], поэтому на промежутке [2;4] принимает значения, меньшие -3.

Задание 5

Постройте график функции . Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая y=m?

Решение: Для построения графика функции "раскроем" модуль. Преобразуем выражение под знаком модуля .

х(х=4)>0, если x<-4 или x>0;

, если .

Построим каждую из парабол на заданной области определения.

Прямая y=m может иметь с графиком этой функции две, три или четыре общих точки, но может их не иметь. Все будет зависеть от расположения прямой. Для того чтобы определить значения параметра m в каждом случае, надо "перемешать" прямую y=m вдоль оси 0y и замечать количество пересечений графика функции и прямой.

Ответ: при m=0 и m>4 прямая y=m может иметь с графиком функции две общие точки. При m=4<4 прямая y=m может иметь с графиком функции четыре общие точки. При m<0 прямая y=m не имеет с графиком функции общих точек.

Задание 6

Задайте аналитическую функцию, график которой иображен на рисунке.

Решение: График заданной кусочной функции состоит из трех прямых, заданных на своих интервалах. Зададим аналитически каждую из прямых.

1) На интервале -4х0 прямая проходит через точки с координатами

(-4;4) и (-2;0). Уравнение прямой y=kx+b. Найдем коэффициенты k и b, решив систему уравнений

Уравнение прямой на этой интервале имеет вид y=-2x-4.

2) На интервале  прямая проходит через точки с координатами (0;-4) и (4;-1). Аналогично первому интервалу, получим y=0,75x-4.

3) На интервале  прямая проходит через точки с координатами (8;2) и (9;2). Уравнение прямой имеет вид у=2.

4) Зададим функцию изображенную на рисунке:

Замечание: Если задана кусочная функция, то концы областей определения включаются только в один из интервалов, причем не имеет значения в какой.

Задание 7

Найдите область определения следующих функций, заданных аналитически:

А) ;

Б) .

Решение:

А) Областью определения функции  является промежуток , поэтому область определения функции  можно найти из неравенства .

Ответ: [2;4].

Б) Областью определения дробно-рациональной функции  являются любые действительные х, не обращающие знаменатель Q(x) в нуль. Поэтому областью определения функции  являются все действительные числа, кроме корней уравнения х2-9=0: х=3 или х=-3.

Обратите внимание на то, что сокращение дроби на общий множитель привело бы к неверному ответу.

Ответ:

Скачать задания контрольной работы № 4

Желаю успехов!

Нина Васильевна
Национальный фонд подготовки кадров. Проекты в сфере информатизации образования.
Курс подготовлен по технологии «Веб-Конструктор для образования».
Сайт создан в системе uCoz