Тема 5

Геометрический и механический смысл производной

Исследование функции с помощью производной.
Неравенства с одной переменной

Задание В 8
Характеристика задания. Ставшая традиционной для ЕГЭ по математике задача на вычисление производной по данным приводимого в условии рисунка, представляющего собой изображенные на клетчатой бумаге график функции и касательную к нему. Иногда на рисунке может быть изображен только график функции, а касательная задана описанием.
Комментарий. Решение задачи состоит в вычислении углового коэффициента касательной, т.е. тангенса угла, который она образует с положительным направлением оси абсцисс. Для этого достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение катетов. Если угол тупой, то его тангенс отрицателен, если острый – то положителен.
Пример с решением. На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции в точке х₀.

Решение. Найдем отрезок касательной с концами в вершинах клеток, например АВ, и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. Согласно геометрическому смыслу производной, искомое значение
f ' (х₀) равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х₀. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла, который она образует с положительным направлением оси абсцисс. В данном случае этот угол тупой, поэтому искомое значение производной будет отрицательным. Поскольку прямая СВ параллельна оси абсцисс, а при параллельном переносе любой из двух прямых угол между ними не меняется, то достаточно найти тангенс угла АВС и в ответе записать его значение со знаком «минус»: tg угла АВС =  . Ответ: - 1,5.

 
Задача 2. Прямая у = 3х – 10 параллельна касательной к графику функции
у = х² + 5х – 7. Найдите абсциссу точки касания.
Решение. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Следовательно, (х² + 5х – 7)' = (3х – 10)' , 2х + 5 = 3 ,  х = -1.
Ответ: -1.

Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s(t) – закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:
S'(t) = v(t).
Задача 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону
 x(t) =  t³ + t² – 9t + 6 (где х – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 39 м/с?
Решение:

Ответ: 6.

Задание В 11
Тип задания. Задание на исследование функций с помощью производной.

Характеристика задания. Задание на вычисление с помощью производной точек экстремума данной функции или наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке. Производная в некоторых задачах может быть задана графиком.
Комментарий. Решение задания связано с нахождением при помощи производной точек максимума (минимума) заданной функции или ее наибольшего (наименьшего) значения на отрезке. При этом возможны два основных случая: либо производная задана графиком, либо функция задана формулой. Если производная задана графиком, то на тех промежутках, где он расположен выше оси абсцисс (т.е. производная положительна), функция возрастает; на тех промежутках, где он расположен ниже оси абсцисс (т.е. производная отрицательна), функция убывает. Точки, в которых график производной пересекает ось абсцисс (т.е. производная меняет знак), являются точками экстремума. Если функция задана формулой, то при нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке можно использовать стандартный алгоритм.

Пример с решением. Найдите наибольшее значение функции

Задание С 3
Теория по данному разделу широко представлена на сайте Ларина А.А.
Пример с решением. Решите неравенство
log_x (7- x) < log_x (x³ – 6x² + 14x -7) - log_x (x – 1).
Решение. Выполняя равносильные переходы, получим, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств 

Успехов!

Лидия Петровна

Посмотреть ответы...