Корнем уравнения с одним неизвестным называют значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Решить уравнение с одним неизвестным - значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Линейным уравнением с одним неизвестным х, называют уравнения вида ах=b, где х - неизвестное, а и b - некоторые числа.
Квадратным уравнением с одним неизвестным х называют уравнение вида ах2+bx+c=0, где х - неизвестное, а и b, c - некоторые числа, причем .
Формула корней квадратного уравнения
Корни квадратного уравнения, ах2+bx+c=0 находят по формуле .
Теорема Виета
Если приведенное квадратное уравнение х2+px+c=0 имеет корни, то сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1+x2=-p, х1.x2=q.
Решением системы уравнений с двумя неизвестными называется пара значений неизвестных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Примерные задания
Задание №1. Решите уравнение
Решение: Умножим обе части уравнения на 6
2(2х-1)-3(х+1)=12
4х-2-3х-3=12
х=17
Ответ: 17.
Задание №2. Решите уравнение -x2+0,1=0,9x. В ответе укажите произведение его корней.
Решение: перенесем слагаемые в левую часть уравнения
-x2+0,1-0,9x=0
x2+0,9x-0,1=0
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10.
10x2+9x-1=0
D=92-4*10*(-1)=121
x1=-1 x2=0,1
Не забудем, что в задании есть дополнительный вопрос. Произведение корней уравнения равно -0,1.
Ответ: -1; 0,1; -0,1.
Задание №3. Не решая уравнения 2x2+2x-3=0, найдите:
а) б) в) г) , где
x1, x2 - корни уравнения.
Решение:
Известно, что x1, x2 - корни квадратного уравнения. Применим теорему Виета.
Сначала необходимо сделать исходное уравнение приведенным, т.е. разделить на первый (старший) коэффициент 2.
Имеем: x2+x-1,5=0
По теореме Виета:
Поэтому в пункте а) ; а в пункте б) .
Чтобы вычислить значения выражений в пунктах в) и г), выразим слагаемые в них через и .
в) .
г).
Ответ: а)-1; б)-1,5; в) ; г) 4.
Задание №4. Решите уравнение
Решение: Корнями уравнения x2-6x+8=0 является x1=2, x2=4, поэтому О.Д.З.: .
8-(1-3х) (х-4)-4(х-2)=0
8-х+4+3х2-12х-4х+8=0
3х2-17х+20=0
Ответ: .
Задание №5. Найдите наименьший корень уравнения
(х+3)4+3х2+18-1=0.
Решение:
Рассмотрим первое слагаемое (х+3)4. Вспомним, что
(х+3)2=х2+6х+9.
Сгруппируем второе и третье слагаемые. Если вынести 3 за скобки, то имеем 3(х+6х). Введем новую переменную а=(х+3)2, , тогда
3х2+18х=3х2+18х+27-27=3(х2+6х+9)-27=3а-27.
Исходное уравнение будет иметь вид а2+3а-27-1=0.
Решим получившееся квадратное уравнение а2+3а-28=0.
а=-7 или а=4
а=-7 - посторонний корень (почему?).
Вернемся к замене: (х+3)2=4.
Как проще решить это уравнение?
1-й способ. Раскрыть квадрат суммы и применить основную формулу корней квадратного уравнения.
2-й способ. Перенести 4 в левую часть и применить формулу разности квадратов.
3-й способ. Извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения.
х+3=2 или х+3=-2.
х=-1 или х=-5.
Вспомните, какое было задание.
Ответ: -5.
Задание №6. Сколько корней имеет уравнение х3-3х2-32х+96=0?
Решение: В левой части уравнения 4 слагаемых, поэтому применяем метод группировки.
(х3-3х2)-(32х-96)=0
х2(х-3)-32(х-3)=0
(х-3)(х2-32)=0
Произведение равно нулю, значит, х-3=0 или х2-32=0.
Уравнение имеет три корня: .
Ответ: 3 корня.
Задание №7. При каких значениях параметра m оба корня уравнения х2-mx+2=0 лежат в промежутке (0;3)
Рассмотрим функцию . Графиком данной функции
является парабола. Изобразим параболу с указанными свойствами.
Запишем условия, соответствующие этому расположению параболы.
Решим отдельно каждое из этих неравенств.
,значит, первое условие выполняется автоматически.
.
Решением системы неравенств будет промежуток .
Ответ: при оба корня уравнения лежат в промежутке (0;3).
Задание №8. Решите систему уравнений
Решение (метод подстановки).
Выразим неизвестное х через у из второго уравнения и подставим в первое уравнение.
Решим первое уравнение системы
y=2 или y=-2,5
Возвращаемся к подстановке, находим значение х.
Ответ: (5;2), (-4;-2,5).
Задание №9. Решите систему уравнений .
Решение (метод сложения).
Умножим первое уравнение на три.
Сложим первое и второе уравнения.
Решаем первое уравнение
2х2+6х=8:2
х2+3х-4=0
х1=-4; х2=1(по теореме, обратной к теореме Виета);
найдем значение у, подставив в первое уравнение системы значение х.
Ответ: (-4; 4,5); (1; -0,5)
Задание №10. Решите систему уравнений .
Решение (метод введения новых неизвестных).
Введения новых неизвестных позволяет упростить вид данной системы.
Пусть , тогда получим систему
Сложим уравнения. Получим 5b=1, b=0,2. Вернемся к замене переменных.
Ответ: (3,5; -1,5).
Скачать задания контрольной работы № 2
Посмотреть ответы...
Желаю успехов!
Нина Васильевна
Примечание: При выполнении заданий контрольной работы вы можете воспользоваться учебниками:
-
Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. С.А. Телековского.
-
Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др.
-
Алгебра 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович.