В содержание ЕГЭ включаются планиметрические задачи, связанные с нахождением площадей, линейных или угловых величин треугольников или четырехугольников. Для решения этих задач необходимо помнить:
- основные определения и свойства геометрических фигур: треугольников, четырехугольников, углов;
- формулы для нахождения длин и площадей или связывающие линейные и угловые элементы фигур.
Задание В4
Тип задания. Задание на вычисление элементов прямоугольного треугольника.
Для решения задачи достаточно знать определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество и теорему Пифагора (опр. см. ниже).
Пример с решением.

Ответ: 20.
Задание на нахождение радиуса вписанной или описанной окружности около правильного многоугольника.
Для решения задачи достаточно знать формулы радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник  и радиуса описанной окружности  где а – длина стороны многоугольника, n - число сторон.
Пример с решением. Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Ответ: 4.

Задание В6
Тип задания. Задание на вычисление площади треугольника, четырехугольника, круга и его частей, в том числе по данным рисунка, представляющего собой изображение фигуры, площадь которой требуется найти, на клетчатой бумаге (сетке) со стороной клетки 1.
Площадь данной фигуры может быть найдена по соответствующим формулам. Например, для треугольника и параллелограмма во многих случаях достаточно мысленно провести высоту к одной из сторон. Выбирать в качестве стороны и высоты нужно те, длины которых выражаются целым числом делений сетки. В некоторых случаях для вычисления недостающих элементов можно использовать теорему Пифагора. Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда.
Пример с решением. Найдите площадь квадрата, вершины которого имеют координаты (9; 0), (10;9), (1;10), (0;1).

Решение. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, а квадрат стороны можно найти по теореме Пифагора, он будет равен 1² + 9² = 82.
Ответ: 82.

Задание на нахождение суммы, разности, скалярного произведения векторов.
Необходимо повторить понятие вектора и действия с векторами, заданными направленным отрезком и координатами. Учебник «Геометрия» 7-9 класс.

Задание С4
Тип задания Планиметрическая задача.
Задача на вычисление длин, площадей, углов, связанных с плоскими фигурами. Довольно сложная задача, часто требующая рассмотрения двух случаев.
Теоретические сведения
a, b, c – стороны треугольника. А, В, С – углы, лежащие соответственно против сторон a,b,c. h_a, h_b, h_c – длины высот треугольника, опущенных из вершин А, В, С соответственно на стороны a,b,c.
R – радиус окружности, описанной около многоугольника.
r- радиус окружности, вписанной в многоугольник.
S – площадь многоугольника.
p – полупериметр многоугольника.
Треугольники

Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, равен полупериметру этого треугольника (докажите самостоятельно).
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.
Высота, проведенная на гипотенузу, равна отношению произведения катетов к гипотенузе.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Равнобедренный треугольник
Углы при основании равны.
Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Четырехугольники

Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.
Параллелограмм

где a и b – смежные стороны параллелограмма.
При проведении биссектрисы угла параллелограмма образуется  равнобедренный треугольник (докажите самостоятельно).
Прямоугольник

Ромб
Имеет все свойства параллелограмма.

Квадрат

Трапеция

Если в равнобедренной трапеции ABCD BH – высота, то

 (докажите самостоятельно), АD – большее основание.
Cредняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
Многоугольник
Сумма внутренних углов многоугольника равна 180⁰ (n – 2), где n – число сторон многоугольника.
Окружность и круг

где R – радиус окружности, с – длина окружности, S – площадь круга.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Пусть из точки, взятой вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая, тогда квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
Пусть окружность вписана в треугольник АВС. Тогда расстояние от вершины А до точки касания окружности со стороной АВ равно

Пример с решением. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44,
AD = 100, AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и АС, касается стороны СD в точке К. Найдите длину отрезка СК.
Решение. Найдем диагональ АС. Опустим из вершин В и С на сторону АD перпендикуляры ВЕ и CF соответственно. АЕ = FD, так как трапеция равнобедренная. ВСFЕ – прямоугольник.

Возможны две геометрические конфигурации.
Первый случай: окружность вписана в треугольник АСD (рисунок сделайте самостоятельно). Используя свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, можно доказать,

Второй случай: окружность касается продолжений сторон АС и АD за точками С и D соответственно и отрезка СD.

Ответ: 5 или 30.

 

Желаю удачи в выполнении контрольных заданий!

Лидия Петровна

Скачать задания контрольной работы № 2

Посмотреть ответы...